Kilka dni temu opublikowałem zagadkę o pięciorgu dzieci, w której średnia, mediana i dominanta ich wieku były sobie równe, a po urodzinach jednego z dzieci mediana i dominanta zmieniały się, ale nadal pozostawały równe. Czas na rozwiązanie.

Kluczowa obserwacja jest taka, że:

• aby jednocześnie zmieniły się mediana i dominanta, urodziny musi mieć dziecko „ze środka” rozkładu

• trzy środkowe elementy przed urodzinami muszą mieć postać: x, x, x+1, a po urodzinach: x, x+1, x+1.

Inaczej nie da się wymusić jednoczesnej zmiany mediany i dominanty po pojedynczych urodzinach.

Dodatkowo:

• średnia musi być równa medianie, więc suma wieku dzieci musi wynosić 5 * mediana

• wiek traktujemy jako liczbę naturalną z zakresu 1–9 (a czemu nie 0-9? hmmm)

• zakładamy pojedynczą dominantę (co wynika bardziej z gramatyki języka zagadki niż z czegokolwiek innego, można się pokłócić).

To mocno zawęża przestrzeń rozwiązań.

Przy powyższych założeniach istnieje dokładnie sześć poprawnych konfiguracji początkowych:

(1, 4, 4, 5, 6)
(1, 5, 5, 6, 8)
(2, 5, 5, 6, 7)
(2, 6, 6, 7, 9)
(3, 6, 6, 7, 8)
(4, 7, 7, 8, 9)

W każdym z tych przypadków:

• średnia = mediana = dominanta przed urodzinami,

• po urodzinach jednego z dzieci zarówno mediana, jak i dominanta rosną o 1 i nadal są sobie równe.

Kilku Czytelników słusznie zauważyło, że treść zagadki dopuszcza różne interpretacje:

1. można było dopuścić wiek 0,

2. można było uznać istnienie wielu (a konkretnie dwóch) dominant.

Rozwiązania podane powyżej zakładają - jak już nadmieniłem - zakres 1–9 i jedną dominantę. Odpowiedzi oparte na innych założeniach można uznać za poprawne (w obrębie przyjętej interpretacji).

Pierwsze poprawne rozwiązanie (przy założeniach: 1–9, pojedyncza dominanta) nadesłał rdrozd. Gratuluję!

Łącznie nadeszło sześć odpowiedzi od pięciu Czytelników:

• Cichy Fragles – bardzo solidna analiza, uwzględniająca wiek 0, przesunięcia całych układów i przypadki z dwiema dominantami.

• Butter (pierwsze podejście) – kompletne przeszukanie przestrzeni rozwiązań przy nieco zbyt szerokich założeniach; nie zaliczam. Nb. odpowiedź wygląda jak efekt skryptu w Pythonie, chętnie zobaczę szczegóły.

• rdrozd – pierwsze trafienie dokładnie w założony wariant zagadki, z krótkim i czystym uzasadnieniem.

• rozie – trafna obserwacja o przypadkach trywialnych i wielodominantowych; dobra analiza granic zadania.

• Butter (drugie podejście) – precyzyjne wylistowanie przypadków wraz z symulacją „po urodzinach”.

• Rzast – poprawny tok rozumowania oparty na relacji mediany, średniej i sumy skrajnych elementów.