Niedawno postawiona zagadka o minimalizacji błędu względnego spotkała się z umiarkowanym zainteresowaniem Czytelników blogu.

Nic nie szkodzi. Gdyby wszyscy interesowali się tym samym, świat byłby strasznie nudny.

Dziś rozwiązanie oraz analiza zagadnienia w przypadku ogólnym. Jak już wcześniej nadmieniłem, zadanko jest trywialne.

Największy możliwy błąd wystąpi w przypadkach skrajnych: jeżeli wylosowana zostanie jedna z liczb krańcowych przedziału, czyli 30 albo 42.

A jeżeli tak, to należy znaleźć takie x między 30 a 42, dla którego wartość błędu względnego będzie identyczna w tych dwóch skrajnych przypadkach. Jeżeli bowiem wybierzemy x inne, wówczas jeden z przypadków skrajnych da w wyniku większy błąd, a tego chcemy uniknąć.

Jeżeli wylosowano 42, wówczas błąd względny wyniesie:

\(\frac{42-x}{42}\)

Z kolei jeżeli wylosowano 30, wówczas błąd ów wyniesie:

\(\frac{x-30}{30}\)

Równanie nasze wygląda więc następująco:

\(\frac{42-x}{42} = \frac{x-30}{30}\)

Po kilku prostych przekształceniach otrzymujemy:

\(x=35\)

I to jest poprawna odpowiedź. Błąd względny w tym przypadku wyniesie 0.1(6) i to jest "gwarantowane najmniejsze maksimum".

A w przypadku ogólnym?

Jeżeli krańce przedziału, z którego losowane są liczby, oznaczymy odpowiednio a i b, wówczas powyższe równanie wygląda tak:

\(\frac{b-x}{b} = \frac{x-a}{a}\)

Rozwiązujemy dla x:

\(x=\frac{2ab}{a+b}\)

Jak widać minimalizacja maksymalnego błędu względnego w ogólnym przypadku daje w wyniku... średnią harmoniczną krańców przedziału.

O średnich już kiedyś pisałem:

Średnio

AGM

Nudne, prawda?