Dziś zobaczymy sobie dlaczego król jest o wiele silniejszą figurą od skoczka, jeżeli weźmiemy pod uwagę szachy więcej-niż-dwu-wymiarowe.

Król na zwykłej, pustej szachownicy 2D ma osiem ruchów (o ile rzecz jasna nie stoi gdzieś koło krawędzi).

Skoczek - podobnie, chociaż tutaj określenie "koło krawędzi" działa nieco inaczej, bo skoczek ma większy zasięg, a więc krawędź planszy ogranicza go nawet jeżeli stoi od niej odrobinę dalej. Ale ogólnie rzecz biorąc na płaskiej szachownicy obydwie figury mają pi x oko taką samą mobilność rozumianą jako ilość różnych pól, na które mogą przejść z pozycji bieżącej.

A co dzieje się w 3D?

Król w 3D może przejść na 26 różnych pól (wyobraźmy sobie, że stoi w środku sześcianu 3x3x3). Oczywiście tylko o jedno pole w każdą stronę, ale jednak 26 to już całkiem spory wybór.

A skoczek?

Zakładając ruch skoczka w kształcie litery "L", w trzech wymiarach możemy takich liter "narysować" 24. Policzyć to dość łatwo: sześć kierunków na dłuższą "nogę" litery L a potem po cztery kierunki na krótszą. 6 x 4 = 24.

A w wyższych wymiarach?

Król na czterowymiarowej szachownicy może pójść w 80 różnych miejsc.

Skoczek natomiast ma osiem kierunków na pierwszą "nogę" i potem po sześć na drugą:

6 x 8 = 48

Widzimy, że czym więcej wymiarów tym bardziej król staje się mobilny od skoczka.

W ogólnym przypadku na planszy n-wymiarowej król ma zawsze \(3^n-1\) ruchów (minus jeden bo wykluczamy pole, na którym już stoi, a 3 bo zawsze startuje ze środka sześcianu o krawędzi długości trzech pól), a skoczek 2n na pierwszą "nogę" (w każdym wymiarze może się przesunąć o dwa pola w przód lub w tył) i potem 2(n-1) na drugą, czyli razem 4n(n-1).

Widzimy zatem, że ilość możliwych ruchów skoczka rośnie mniej więcej z kwadratem ilości wymiarów, natomiast mobilność króla rośnie wykładniczo.

Dla ośmiu wymiarów król może już zrobić \(3^8-1=6560\) różnych ruchów, a skoczek "tylko" 478=224 ruchy.

Najlepiej widać to na wykresie:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+y%3D3%5Ex-1+and+y%3D4x%28x-1%29%2C+2%3Cx%3C10