Naszym celem było znalezienie takich trzech liczb a, b, c, gdzie:

\[ a^2=b, b^2 = c, c^2 = a \]

Coś tu zdecydowanie nie gra. Przecież podnoszenie do kwadratu liczby większej od 1 daje w wyniku większą liczbę, a mniejszej od 1 - mniejszą. Jakim więc cudem mamy znaleźć taką pętlę?

Jeżeli \( a^2=b, b^2=c, c^2=a \), to oznacza ni mniej ni więcej, że \( a^8=a \), czyli (dla niezerowego \(a\)) \( a^7=1 \)

Otóż trzeba sięgnąć po liczby zespolone.

Jak powszechnie wiadomo[citation needed] liczba zespolona \(a+bi\) składa się z dwóch kawałków: części urojonej \(b\) i części rzeczywistej \(a\). Część urojona mnoży się przez \(i\) czyli pierwiastek z minus jedynki. Wszystko jasne? Nie jasne? Nie bardzo jasne? No to trudno, lecimy dalej.

Moduł z liczby zespolonej Z, oznaczany zwyczajowo przez |Z|, mówi nam jak daleko od punktu (0,0) znajduje się dana liczba, jeżeli narysować ją jako punkt (a, b) w kartezjańskim układzie współrzędnych. Można myśleć o module jako o "wielkości bezwzględnej" liczby zespolonej. Liczba z większym modułem jest na swój sposób "większa" od liczby z mniejszym modułem. Policzenie tego modułu jest proste, identycznie liczymy długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym: podnosimy obydwie przyprostokątne do kwadratu, kwadraty sumujemy, z wyniku sumowania wyciągamy pierwiosnek pierwiastek. Proste? No pewnie, że proste.

No i teraz najważniejsze: podnosząc liczbę zespoloną Z do kwadratu dostaniemy w wyniku liczbę zespoloną, której moduł będzie kwadratem modułu liczby Z. Reguła ta działa zresztą nie tylko dla kwadratów, ale dla dowolnych potęg.

Skoro więc mamy nasze trzy liczby a, b, c "zapętlić" przez podnoszenie ich do kwadratu, musimy wystartować od liczby, której moduł wynosi 1. W przeciwnym razie kolejne potęgowania będą nam zwiększać (bądź zmniejszać) moduł i do niczego nie dojdziemy.

Argument liczby zespolonej, oznaczany na ogół literką φ, a oficjalnie Arg(Z) to kąt, jaki tworzy wektorowa reprezentacja tej liczby z osią rzeczywistą (po naszemu: z osią "X").

Podnoszenie liczby zespolonej do potęgi n oznacza przemnożenie argumentu tej liczby przez n. A więc obrócenie wektora tej liczby w lewo tak, żeby nowy kąt był n-krotnie większy od starego. W szczególności podniesienie do kwadratu kąt ów podwaja, a do ósmej potęgi - uośmiokrotnia (nie ma takiego słowa, ale zapytany o poradę Paweł Pomianek powiedział, że można go śmiało użyć).

Jeżeli więc wystartujemy od liczby zespolonej, której kąt do osi R jest jedną siódmą kąta pełnego (a więc \( 2\pi/7\)), podniesienie takiej liczby do ósmej potęgi "obróci" nam tę liczbę do 8/7, czyli \(1 \frac{1}{7} \) obrotu, czyli "wylądujemy" dokładnie tam, gdzie zaczęliśmy.

A więc jednym z rozwiązań jest liczba zespolona, której moduł wynosi 1, a argument - \(2\pi/7\). Jak to zamienić na postać "normalną" tj. prostokątną? Jak powszechnie wiadomo, część rzeczywista to kosinus kąta a urojona - sinus.

Tak więc nasza liczba to \( cos(2\pi/7) + i sin(2\pi/7)\).

Nie wygląda to za ciekawie...

Spróbujmy inaczej. Skorzystamy ze wzoru de Moivre'a:

\[ (|z| (cos \phi + i sin\phi))^n = |z|^n (cos(n \phi) + i sin(n \phi)) \]

\( |z| \) można pominąć, bo to jedynka, zostaje więc:

\[ (cos \phi + i sin\phi)^n = cos(n \phi) + i sin(n \phi) \]

Za n podstawiamy 2/7 i dostajemy:

\[ (cos \pi + i sin \pi)^{\frac{2}{7}} = cos(2 \pi/7) + i sin (2 \pi/7) \]

Lewa strona to nic innego jak \( (-1)^{\frac{2}{7}} \) - i faktycznie \( (-1)^{\frac{2}{7}})^8 = ((-1)^{\frac{16}{7}} = (-1)^{\frac{2}{7}} \)

Dalej mi się nie chce babrać w LaTeX-u, pełna lista rozwiązań to:

\[ -(-1)^{\frac{1}{7}}, (-1)^{\frac{2}{7}}, -(-1)^{\frac{3}{7}}, (-1)^{\frac{4}{7}}, -(-1)^{\frac{5}{7}}, (-1)^{\frac{6}{7}} \]

Nieco prościej to "ogarnąć" kiedy się spojrzy na postać graficzną rozwiązań:

A jak Wam poszło?

1Pierwszy odezwał się Rzast, który nie tylko podał poprawne rozwiązanie, ale też opisał pokrótce co i jak:

Skoro nie w liczbach rzeczywistych, to trzeba szukać liczby urojone, spełniające równanie: a^8-a=0 => a(a^7-1)=0 Rzast, 2021

Tak więc tym razem WMZKDWWIP (Wielki Medal Z Kartofla Do Własnego Wykonania I Powieszenia) trafia do Rzasta, o ile rzecz jasna będzie mu się chciało go sobie zrobić i powiesić 😉

2Nazajutrz swoje rozwiązanie nadesłał Butter, który jednak wystartował z błędnego założenia, że x^4 = x, co nie tylko dało mu dwa rozwiązania zamiast sześciu, ale w dodatku błędne. Zresztą kartofla za drugie miejsce i tak by nie było. Plus za nadesłanie rozwiązania w PNG:

Minus - za używanie ściągawki (Wolfram). Ale na to przymykam oko, bo sam korzystam z Wolframa co chwilę 🙂

3Dziesięć godzin po Butterze przyszło zgłoszenie od Roziego, który był blisko, ale zamiast podnosić do kwadratu kolejne liczby, zbudował następujące równanie: \(x=x^{2^{2^2}}\). Rzecz jasna daje to efekcie x=x16 zamiast x=x8, więc i rozwiązanie (znalezione za pomocą Wolframa) też błędne. Nawiasem mówiąc w tej wersji rozwiązań (różnych od 0 i 1) jest 14:

4Chwilę potem odezwał się Waldek, który jak zwykle pozamiatał temat udzielając najpierw odpowiedzi ogólnej, a zaraz potem udowadniając, że jest ona poprawna:

z = (-1)^k * (-1)^(k/7) k in 1..6 z^2 = (-1)^(2k/7) z^4 = (-1)^(4k/7) z^8 = (-1)^(8k/7) = (-1)^(7k/7+k/7) = (-1)^(7k/7) * (-1)^(k/7) = (-1)^k * (-1)^(k/7) = z (C) Waldek 2021

Odpowiedź Waldka podoba mi się najbardziej ze wszystkich - jest zwięzła, konkretna i treściwa.

Reasumując: Waldek tym razem był drugi, a Rzast - przedostatni...

P.S. W ostatniej chwili (dosłownie na dwie godziny przed zamknięciem formularza) Waldek dosłał alternatywną formę swojej odpowiedzi - nieco bardziej zwartą (nie wymaga naprzemiennego potęgowania minus jedynki): z=i^(16/7 k) k in 1..6