Stara jak świat zagadka z algebry. A właściwie nawet nie zagadka tylko żarcik.

Przypuszczam, że większość spośród wszystkich dwóch czytelników niniejszego bloga zna ten żarcik, ale a nuż w ciągu najbliższego roku czy dwóch dojdzie trzeci czytelnik, który tego nie zna?

Zagadka polega na znalezieniu błędu w poniższym rozumowaniu.

Weźmy dwie różne liczby rzeczywiste a i b.

Zdefiniujmy x jako różnicę między nimi: \(x = b - a\)

No i teraz dokonajmy na powyższej równości kilku całkiem prostych przekształceń (jeżeli ktoś pamięta podstawy matematyki z późnej podstawówki, nie powinien mieć najmniejszego problemu z ich zrozumieniem):

\(x = b - a\)

Mnożymy obydwie strony przez \((b-a)\):

\(x(b-a)=(b-a)(b-a)\)

Po wymnożeniu:

\(bx-ax=b^2-2ab+a^2\)

Następnie dodajemy do obydwu stron równania wyrażenie \(-bx+ab-a^2\) \(bx-ax-bx+ab-a^2=b^2-2ab+a^2-bx+ab-a^2\)

Po uproszczeniu:

\(-ax+ab-a^2=-bx+b^2-ab\)

Z lewej strony równania wyciągamy przed nawias a, z prawej b:

\(a(-x+b-a)=b(-x+b-a)\)

Dzielimy obie strony przez \((-x+b-a)\) \(a=b\)

Tym oto nieskomplikowanym sposobem udowodniłem, że dwie dowolne różne liczby są sobie równe.

Gdzie tkwi błąd?