Zaczniemy od tego, o czym już wcześniej wspominałem:

2025 to jedyny kwadrat w tym stuleciu. Poprzedni był w 1936, a następny dopiero w 2116:

$$45^2=2025$$

Czego jednak wcześniej nie zauważyłem, to to, że 45 da się przedstawić jako 20+25. Tym samym mamy więc:

$$(20+25)^2=2025$$

2025 jest sumą wszystkich liczb nieparzystych od 1 do 89:

$$1+3+5+...+87+89=2025$$

2025 jest sumą wszystkich sześcianów od 1 do 9:

$$1^3+2^3+...+8^3+9^3=2025$$

2025 jest najmniejszą możliwą wartością promienia półokręgu o promieniu r, w który można wpisać cztery koła spełniające następujące warunki:

• dwie pary kół z identycznymi promieniami (a więc dwa koła o promieniu \(r_1\) oraz dwa inne koła o promieniu \(r_2\))

• wszystkie koła są styczne albo do półokręgu, albo do innych kół, albo do pewnej cięciwy tego półokręgu

• wszystkie promienie (a więc: \(r, r_1, r_2\)) są liczbami naturalnymi.

Promień półokręgu to 2025, a promienie wpisanych kół to 400 oraz 648 (i bez ułamków mniej się nie da).

Jeżeli stworzymy liczbę postaci:

122333444455555... aż do 45 powtórzonego 45 razy, dostaniemy w wyniku liczbę, która ma 2025 cyfr, a jak już nadmieniłem \(45^2=2025\). Jest to jedyna taka liczba.

2025 jest największą obecnie znaną liczbą, która - sama będąc kwadratem - pozostanie kwadratem po zwiększeniu każdej cyfry o 1: \(\sqrt{3136}=56\).

2025 liczb naturalnych między 1 a 9999 ma ostatnią cyfrę większą od pozostałych. Uwaga: liczby mniejsze od tysiąca wypełniamy od lewej strony zerami, o tak: 0001, 0002, 0003, ...

Okrąg o promieniu 26 nałożony na siatkę kwadratów o boku 1 (z centralnym kwadratem pośrodku okręgu) obejmuje dokładnie 2025 kwadratów:

Jeżeli podniesiemy 2025 do kwadratu, dostaniemy 4100625. 41+625=666 (liczba Bestii!). Jest to póki co jedyna znana liczba z tą własnością.

Cztery najmniejsze naturalne liczby złożone to 4, 6, 8, 9. Jeżeli zbudujemy z nich macierz 4x4, przesuwając w każdym wierszu liczby cyklicznie, dostaniemy:

$$\begin{bmatrix} 4 & 6 & 8 & 9 \\ 9 & 4 & 6 & 8 \\ 8 & 9 & 4 & 6 \\ 6 & 8 & 9 & 4 \\ \end{bmatrix}$$

Wyznacznik tej macierzy to -2025.

2025 da się zapisać jako sumę dwóch kwadratów dokładnie na jeden sposób:

$$2025 = 27^2 + 36^2$$

\(2^{2025}+1\) dzieli się przez \(2\times2025+1\).

2025 jest 23. z kolei liczbą oktagonalną. Liczymy kropki na bokach rosnących ośmiokątów foremnych, zgodnie z przykładem poniżej. Aby uzyskać 2025, potrzebujemy dwudziestu trzech takich ośmiokątów (tak naprawdę dwudziestu dwóch, chyba żeby potraktować kropkę w samym środku jako ośmiokąt zdegenerowany).

Powyższe informacje oraz obrazki bezczelnie ukradłem z tej strony.